Στέλλα Σερεμετάκη : 2024-06-30

Παρασκευή 5 Ιουλίου 2024

Στέλλα Σερεμετάκη : Αναφορά Μαθηματικά (B' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή

Στέλλα Σερεμετάκη : Αναφορά Μαθηματικά (B' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή: Ισημερινός- Μεσημβρινός Το σχήμα της Γης είναι ελλειψοειδές. Για πρακτικούς λόγους, όμως, θεωρούμε ότι η Γη είναι σφαίρα και την ονομάζουμε ...

Αναφορά Μαθηματικά (B' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή

Ισημερινός- Μεσημβρινός

Το σχήμα της Γης είναι ελλειψοειδές. Για πρακτικούς λόγους, όμως, θεωρούμε ότι η Γη είναι σφαίρα και την ονομάζουμε γήινη σφαίρα ή υδρόγειο σφαίρα.

Η υδρόγειος σφαίρα περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό της, γύρω από ένα νοητό άξονα, ο οποίος περνά από τους δύο πόλους.

Ο νοητός αυτός άξονας ονομάζεται άξονας περιστροφής της Γης. Ο μέγιστος κύκλος της γήινης σφαίρας, ο οποίος είναι κάθετος στον άξονα περιστροφής, ονομάζεται ισημερινός.

Ο ισημερινός χωρίζει τη Γη σε δύο ημισφαίρια, το βόρειο (συμβολίζεται με το γράμμα Ν από την αγγλική λέξη North που σημαίνει Βορράς) και το νότιο (συμβολίζεται με το γράμμα S από την αγγλική λέξη South που σημαίνει Νότος).

Η τομή κάθε επιπέδου, το οποίο είναι παράλληλο προς το επίπεδο του ισημερινού με την επιφάνεια της γήινης σφαίρας, είναι κύκλος με κέντρο πάνω στον άξονα περιστροφής.

Έτσι, το βόρειο και το νότιο ημισφαίριο χωρίζονται από παράλληλους προς τον ισημερινό κύκλους, με αποτέλεσμα από κάθε τόπο πάνω στην επιφάνεια της Γης να περνά ένας παράλληλος κύκλος, ο οποίος ονομάζεται παράλληλος του τόπου.

Το ημικύκλιο με διάμετρο ΠΠ', το οποίο περνά από το αστεροσκοπείο Γκρήνουϊτς της Μ. Βρεττανίας, ονομάζεται πρώτος μεσημβρινός. Ο πρώτος μεσημβρινός χωρίζει τη γήινη σφαίρα σε δύο ημισφαίρια, το ανατολικό (συμβολίζεται με το γράμμα Ε από την αγγλική λέξη East που σημαίνει ανατολή) και το δυτικό (συμβολίζεται με το γράμμα W από την αγγλική λέξη West που σημαίνει δύση).

Από κάθε τόπο περνά ένα ημικύκλιο με διάμετρο ΠΠ’. Το ημικύκλιο ονομάζεται μεσημβρινός του τόπου.

Κάθε τόπος χαρακτηρίζεται από δύο διαφορετικές επίκεντρες γωνίες. Στο διπλανό σχήμα, αν Α είναι το σημείο τομής του ισημερινού με τον πρώτο μεσημβρινό, ο τόπος Τ χαρακτηρίζεται από την επίκεντρη γωνία λ και την επίκεντρη γωνία ω.

Η επίκεντρη γωνία λ ονομάζεται γεωγραφικό μήκος του τόπου και η ω γεωγραφικό πλάτος του τόπου.

Ανάλογα με τη θέση του τόπου, το γεωγραφικό μήκος χαρακτηρίζεται ως δυτικό (W) ή ως ανατολικό (Ε) (αν ο τόπος βρίσκεται στο ανατολικό ή στο δυτικό ημισφαίριο αντίστοιχα).

Επίσης, το γεωγραφικό πλάτος χαρακτηρίζεται ως βόρειο (Ν) ή νότιο (S), αν ο τόπος βρίσκεται στο βόρειο ή στο νότιο ημισφαίριο αντίστοιχα.

Στέλλα Σερεμετάκη : Αναφορά Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή

Στέλλα Σερεμετάκη : Αναφορά Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή: Α. ΙΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Ίσα τρίγωνα λέγονται τα τρίγωνα που έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες το...

Αναφορά Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή

Α. ΙΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Ίσα τρίγωνα λέγονται τα τρίγωνα που έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.
Κριτήρια ισότητας τριγώνων. Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:
- Δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση (Π - Γ - Π).
- Μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (Γ - Π - Γ).
- Τις πλευρές τους ίσες μία προς μία (Π - Π - Π).
Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:
- Δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία.
- Μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση.

Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ

Παράλληλες ευθείες, αν ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία που τις τέμνει, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει.
Λόγος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ο αριθμός λ για τον οποίο ισχύει ΓΔ = λ · ΑΒ.
Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς ταευθύγραμμα τμήματα β, δ, όταν ισχύει
Θεώρημα Θαλή. Τρεις ή περισσότερες ευθείες, αν τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα που ορίζονται στην άλλη.

Γ. ΟΜΟΙΘΕΣΙΑ - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Ομοιόθετο ενός σημείου Α ως προς το κέντρο Ο και λόγο λ ονομάζεται το σημείο Α΄ της ημιευθείας ΟΑ για το οποίο ισχύει ΟΑ΄ = λ · ΟΑ.
Τα ομοιόθετα ευθύγραμμα τμήματα που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία είναι παράλληλα.
Οι ομοιόθετες γωνίες είναι ίσες.
Δύο ομοιόθετα πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.
Όμοια πολύγωνα λέγονται τα πολύγωνα που το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου.
Δύο πολύγωνα είναι όμοια, όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες και αντιστρόφως.
Τα ομοιόθετα πολύγωνα είναι όμοια.
Δύο τρίγωνα που έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι όμοια και θα έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες.
Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε:
- Ο λόγος των περιμέτρων τους είναι ίσος με το λόγο ομοιότητάς τους.
- Ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.

Στέλλα Σερεμετάκη : Αναφορά Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή

Στέλλα Σερεμετάκη : Αναφορά Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή: Ιστορία των Μαθηματικών Η θεωρία των ομοίων σχημάτων ήταν γνωστή από τα μέσα του 7ου αιώνα π.Χ. Με τη βοήθεια της θεωρίας αυτής ο Θαλής ο ...

Στέλλα Σερεμετάκη : Αναφορά Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή

Στέλλα Σερεμετάκη : Αναφορά Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή: Υπολογισμός της απόστασης ενός πλοίου από τη στεριά Αν ένα πλοίο βρίσκεται στη θέση Α στη θάλασσα, εμείς στεκόμαστε στη ...

Αναφορά Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή

Ιστορία των Μαθηματικών

Η θεωρία των ομοίων σχημάτων ήταν γνωστή από τα μέσα του 7ου αιώνα π.Χ. Με τη βοήθεια της θεωρίας αυτής ο Θαλής ο Μιλήσιος (624 - 547 π.Χ.), ένας από τους επτά σοφούς της αρχαιότητας, κατόρθωσε να υπολογίσει το ύψος της μεγάλης πυραμίδας του Χέοπος από το μήκος της σκιάς της, αποσπώντας το θαυμασμό του βασιλιά της Αιγύπτου, του Άμασι.

Δε γνωρίζουμε ακριβώς τις τεχνικές που χρησιμοποίησε ο Θαλής σ' αυτό το επίτευγμα του. Ο Πλούταρχος, ωστόσο, μας διηγείται τα εξής:

«Αφού έστησε το ραβδί του ο Θαλής στο τέλος της σκιάς της πυραμίδας από τα δύο όμοια τρίγωνα που προκύπτουν από την επαφή της ακτίνας του ήλιου, απέδειξε ότι o λόγος που είχε η σκιά της πυραμίδας προς τη σκιά της ράβδου ήταν ο ίδιος με το λόγο που είχε το ύψος της πυραμίδας προς το μήκος της ράβδου».

Ο Διογένης ο Λαέρτιος, μάλιστα, ισχυρίζεται ότι ο Θαλής μέτρησε τη σκιά της πυραμίδας, όταν το μήκος της ράβδου έγινε ίσο με το μήκος της σκιάς της.

Αναφορά Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή

Υπολογισμός της απόστασης ενός πλοίου από τη στεριά

Αν ένα πλοίο βρίσκεται στη θέση Α στη θάλασσα, εμείς στεκόμαστε στη θέση Β στη στεριά και θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση ΑΒ, τότε:

Ξεκινάμε από το σημείο Β και περπατώντας πάνω στην παραλία κάθετα στην ΑΒ διανύουμε μιαν απόσταση ΒΓ. Στο σημείο Γ βάζουμε ένα σημάδι, π.χ. στερεώνουμε ένα ραβδί και συνεχίζοντας πάνω στην ίδια ευθεία διανύουμε την απόσταση ΓΔ = ΒΓ.
Στο σημείο Δ αφού βάλουμε ένα σημάδι, π.χ. μια πέτρα, κάνουμε στροφή και περπατώντας κάθετα στη ΒΔ σταματάμε όταν βρεθούμε σ´ ένα σημείο Ε, από το οποίο τα σημεία Α και Γ φαίνονται να είναι πάνω στην ίδια ευθεία.

Η ζητούμενη απόσταση ΑΒ είναι ίση με την απόσταση ΔΕ την οποία μπορούμε να μετρήσουμε, αφού είναι πάνω στη στεριά.

Τη μέθοδο αυτή, λέγεται, ότι εφάρμοσε πριν από 2.500 χρόνια περίπου ο Θαλής ο Μιλήσιος.